<sub class="descriptionSection">26-10-2024 06:01:pm // #Mathe // [[Mathematik]]</sub> ____ Bruchungleichungen sind [[Ungleichungen]] bei denen ein Bruch auf einer Seite der Ungleichung und `0` auf der anderen Seite der Ungleichung steht: $ \frac{x + 3}{x - 2} > 0 $ ## Ziel der Bruchungleichung Eine Bruchungleichung lässt sich nur teilweise lösen. Es kann immer nur eine Lösungsmenge aufgestellt werden. Die Lösungsmenge kann auch nicht mit "normalen" Wegen ermittelt werden, da bei normalen Äquivalenzumformungen ungültige Ergebnisse herauskommen. Je nachdem in welche Richtung das Ungleichzeichen sich richtet, muss ein anderes Verfahren angewendet werden. Wenn etwas Größer als null sein soll, kann X nur in einem Bereichliegen wo der gesamte Bruch negativ ist, wenn es kleiner als null sein soll anders rum (der Bruch muss ein Ergebnis kleiner als Null haben). Hierzu verwendet man eine Wertetabelle. Diese kann aber nur aufgestellt werden nach ein paar Schritten: ## Schritte zum Lösen einer Ungleichung ### 1. Definitionsmenge aufstellen Genau wie bei [[Ungleichungen]] muss zuerst eine Definitonsmenge (also eine Menge von Zahlen die x ==**nicht**== sein kann) aufgestellt werden. Im Beispiel: $ \frac{x + 3}{x - 2} > 0 $ Ist dies: $ D = R / \{2\} $ > Die Definitionsmenge schließt hier alle Realen Zahlen ein und die 2 aus ### 2. Umformen damit auf einer der beiden Seiten eine 0 steht Bevor die Lösungsmenge einer Bruchungleichung aufgestellt werden kann, muss auf einer der beiden Seiten eine 0 stehen. Dies kann durch normales Umformen **unter beachtung der [[Ungleichungen#Umformungsregeln|Umformungsregeln]]** von Ungleichungen getan werden: $ \frac{x-3}{-x + 4} > 2 \text{| } -2 $ $ \frac{x - 3}{-x + 4} - \frac{-2x+8}{-x + 4} > 0 $ Dann muss man in diesem beispiel noch soweit zusammenrechnen das nur **ein bruch** auf einer Seite steht, und die null auf der anderen: $ \frac{3x - 11}{-x + 4} > 0 $ ### 3. Nullstellen ermitteln Zum aufstellen der Lösungsmenge, werden für die Wertetabelle die Nullstellen für über und unter dem Bruch benötigt. Angenommen diese Ungleichung: $ \frac{x + 3}{x-2} > 0 $ Ist die Nullstelle $+3$ oben und $+2$ unten ## Aufstellen der Lösungsmenge Die Lösungsmenge $L$ kann aufgestellt werden mithilfe einer Wertetabelle. Angenommen diese Ungleichung: $ \frac{x + 3}{x-2} > 0 $ Könnte man die Wertetabbelle so aufstellen: | **x** | x < | 2 | < x < | 3 | < x | | ------------------- | --- | --- | ----- | --- | --- | | x - 6 | - | - | - | 0 | + | | x + 2 | - | 0 | + | + | + | | $\frac{x - 6}{x+2}$ | + | Nan | - | 0 | + | In diesem Fall suchen ein Postives Ergebnis (da x > 0 sein muss), somit müssen wir in der Lösungsmenge alle positiven Brüche beachten: $ L = ]-\infty;2[ \text{ } u \text{ } ]3;\infty[ $ Somit sind alle x gültig die unter 2 und über 3 sind. Alles dazwischen ist ungültig.