<sub class="descriptionSection">28-09-2024 10:57:am // #Grundwissen // [[Mathematik]]</sub> ____ ## Was ist eine Quadratwurzel / wurzel Eine Wurzel in der Mathematik ist das direkte Gegenteil zur Potenz. Während eine Potenz den Wert mit sich multipliziert, sucht die Wurzel das genaue Gegenteil: ![[Pasted image 20240928105949.png]] > [!NOTE] Note > Eine Wurzel, die keine Zahl als "Exponent" hat (im Bild die 2) ist automatisch eine Quadratwurzel. ## Multiplikation und Division ### Multiplikation Wenn man zwei Wurzeln miteinander multiplizieren will dann gilt: $ \sqrt{a}*\sqrt{b} = \sqrt{a*b} $ Wenn man eine Wurzel potenziert, kann man die Wurzel weglassen: $ (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a}*\sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $ ### Division Wenn man zwei Wurzeln dividieren will, gilt: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $ ### Beispiele Ein Beispiel ist: $ \sqrt{2}*\sqrt{8} = \sqrt{2*8} = \sqrt{16} = 4 $ Hier werden die wurzeln einfach miteinander Mutlipliziert. Ein weiteres Beispiel: $ \sqrt{6a}*\sqrt{24a} = \sqrt{(6a)*(24a)} = \sqrt{144a^2} = 12a $ Und ein Divisionsbeispiel: $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $ ## Teilweises Radizieren Bevor man jetzt mit der Addition und Subtraktion von Wurzeln starten kann, dann muss zuerst geklärt werden wie man Brüche "Radiziert" > [!NOTE] Radikand > Wie [[#Was ist eine Quadratwurzel / wurzel|oben]] erwähnt, ist der Radikand die Zahl die unter der Wurzel steht. Wenn sich der Faktor unter der Wurzel (der Radikand) in Faktoren zerlegen lässt, von denen einer eine Quadratzahl ist, dann kann man diesen quadratischen Faktor teilweise radizieren: $ \sqrt{x} = \sqrt{a^2*b} = \sqrt{a^2}*\sqrt{b} = a*\sqrt{b} $ #### Beispiel $ \sqrt{32} $ Zuerst muss der Radikand faktorisiert werden: $ \sqrt{2*16} $ Jetzt lässt sich die Wurzel auseinander ziehen: $ \sqrt{2}*\sqrt{16} $ Da die wurzel aus 16, 4 ist kann man diese jetzt ausrechnen und vor die wurzel zwei ziehen, was das Endergebnis sein muss: $ 4*\sqrt{2} $ ## Faktor unter Wurzel ziehen Ein weiteres Recheninstrument ist das ziehen einer reellen Zahl unter eine Wurzel. Dies kann nur passieren wenn der Term das Produkt aus einer reellen Zahl und einer Quadratwurzel ist: $ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2} * \sqrt{b} = \sqrt{a^2*b} $ > [!NOTE] Wichtig > Die Reelle Zahl **muss** Potenziert unter der Wurzel stehen, da sonst das Ergebnis verfälscht wird. Bei diesem Vorgang ist wichtig, dass das Vorzeichen der Zahl beachtet wird: $ a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b} $ ### Beispiel $ 3\sqrt{27} $ Die drei kann unter die wurzel gezogen werden $ \sqrt{3^2*27} $ Jetzt kann unter der Wurzel ausgerechnet werden $ \sqrt{243} $ Das ist jetzt das Endergebnis. Das unter die Wurzel ziehen ist oft nicht sehr sinnvoll und sollte nur gemacht werden falls gefordert von der Aufgabenstellung ## Addition und Subtraktion Bei der Addition und Subtraktion von Wurzeln muss beachtet werden, dass nur gleichartige Wurzeln addiert und subtrahiert werden können! ### Beispiel $ -4\sqrt{2} + 3\sqrt{8} = -4\sqrt{2} + 3\sqrt{2*4} $ Hier haben wir die Radikanden soweit Faktorisiert, das wir im rechten Term eine Quadratzahl unter der Wurzel haben, was uns erlaubt diese aus der Wurzel zu ziehen: $ -4\sqrt{2} + 3*2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ ## Wurzeln und Brüche - Rationalmachen des Nenners Wenn in einem [[Brüche|Bruch]] im Nenner eine Wurzel vorkommt, dann ist es meistens besser wenn man diesen Rationalmacht. Die einfachste Methode dafür, ist dass man einfach den Bruch mit dem Wurzelterm im Nenner erweitert. So zieht man den Bruch nach oben, und unten löst sich die Wurzel auf, da sie potenziert wird: $ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a*\sqrt{b}}{\sqrt{b}*\sqrt{b}} = \frac{a*\sqrt{b}}{b} $ ### Beispiel $ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4*\sqrt{2}}{2} = \frac{\cancel4*\sqrt{2}}{\cancel2} = \frac{2*\sqrt{2}}{1} = 2*\sqrt2 $