<sub class="descriptionSection">26-09-2024 11:56:am // #Systeme // [[TI]]</sub> ____ ## Allgemeine Schema für Stellenwertsysteme ##### Dezimalzahl (Basis 10) System | Z$_{10}$ | 2 | 7 | 8 | 3 | 5 | Ziffernfolge | | -------- | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------------------------- | | | a$_4$ | a$_3$ | a$_2$ | a$_1$ | a$_0$ | **Variablen für Ziffern** | | | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | **Stellen** | | | 10$^4$ | 10$^3$ | 10$^2$ | 10$^1$ | 10$^0$ | **Stellenwert** | | | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | **Tatsächlicher Wert** | Daraus folgt das die Ziffer Z$_{10}$ gleich folgender gleichung ist: $ Z_{10} = 5*10^0 + 3*10^1 + 8*10^2 + 7*10^3 + 2*10^4 $ $ Z_{10} = 5*1 + 3*10 + 8*100 + 7*1000 + 2*10000 $ ##### Ableitung für dieses [[Zahlensysteme|Zahlensystem]] Allgemein für Dezimalzahlen gilt: $ Z_{10}=\sum_{i=0}^{n-1}*a_i *10^i $ In der Ableitung gilt: - `i` ist die Anzahl der Ziffern - `a` ist der Stellenwert der Ziffer ##### Für eine beliebige Basis `b` $ Z_{10}=\sum_{i=0}^{n-1}*a_i *b^i $ In der Formel bezieht sich: - `b` auf die Basis, also im Binärsystem 2 - `a` auf die Stellenziffer > [!NOTE] Merksatz > Um die Zahlen eindeutig darstellen zu können, werden `b` verschiedene Ziffern benötigt: > $ > 0 \leq a_i < b > $ > **Merke: Aus einer Ziffer wird erst dann eine Zahl, wenn die Ziffer mit dem Stellenwert multipliziert wird.** ##### In der IT Die Kleinste Informationseinheit ist 1 Bit. => Ein Bit kann 2 Zustände annehmen -> 2 Verschiedene Ziffern, diese Ziffern sind 0 & 1 => Dualzahlen mit der _Basis_ b = 2 So können diese Zahlen bestimmt werden, mithilfe der Formel von [[#Für eine beliebige Basis `b`|oben]]: $ 0 \leq a_i < 2 $ Die Stellenwerte sind ganzzahlige Potenzen zur Basis b = 2 | $Z_{(2)} =$ | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | Ziffernfolge | | ----------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ---------------------- | | | $a_7$ | $a_6$ | $a_5$ | $a_4$ | $a_3$ | $a_2$ | $a_1$ | $a_0$ | **Variablen** | | | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | **Stellen** | | | $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ | **Stellenwerte** | | | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | **Tatsächlicher Wert** | Es wird der Stellenwert \* die Ziffernfolge genommen und addiert um das Dezimal Ergebnis zu bekommen $ Z_{(10)} = 0*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 $ $ = 0 * 1 + 1*2 + 1*4 + 1*8 + 0*16 + 1*32 + 1*64 + 0*128 $ $ = 2 + 4 + 8 + 32 + 64 $ $ = 110_{(10)} $ ##### Übung: Ein Kakadu hat 4 Zehen pro Kralle => 8 Zehen insgesamt. Er zählt seinen Körnervorrat! $ Z_{(8)} = 274 $ Wieviele Körner sind dies im Dezimalsystem? | $Z_{(8)}=$ | 2 | 7 | 4 | Ziffernfolge | | ---------- | ----- | ----- | ----- | ------------------ | | | $a_2$ | $a_1$ | $a_0$ | Variablen | | | 2 | 1 | 0 | Stellen | | | $8^2$ | $8^1$ | $8^0$ | Stellenwerte | | | 64 | 8 | 1 | Tatsächlicher Wert | $ Z_{(10)} = 4*1 + 7*8 + 2*64 = 188_{(10)} $ ## Umrechnung von Dezimalzahlen größer 1 (Ganzzahl) in ein beliebiges Zahlensystem Um eine Dezimahlzahle Ganzzahl in ein anderes System umzurechnen kann die folgende Formel verwendet werden: ![[Pasted image 20240926194400.png]] ##### Beispiel umrechnung in das Binär System *Gegeben:* $154_{10}$ (Base 10) *Gesucht:* $Z_{2}$ => b = 2 | Zahl | Rechenzeichen | Basis | Ergebnis | Rest | | ---- | :-----------: | ----- | -------- | ---- | | 154 | : | 2 | 77 | 0 | | 77 | : | 2 | 38 | 1 | | 38 | : | 2 | 19 | 0 | | 19 | : | 2 | 9 | 1 | | 9 | : | 2 | 4 | 1 | | 4 | : | 2 | 2 | 0 | | 2 | : | 2 | 1 | 0 | | 1 | : | 2 | 0 | 1 | => $Z_2$=10011010$_2$ ##### Übungen ###### A) *Gegeben*: 107$_{10}$ Gesucht Z$_2$ => b = 2 | Zahl | Rechenzeichen | Basis | Ergebnis | Rest | | ---- | :-----------: | ----- | -------- | ---- | | 107 | : | 2 | 53 | 1 | | 53 | : | 2 | 26 | 1 | | 26 | : | 2 | 13 | 0 | | 13 | : | 2 | 6 | 1 | | 6 | : | 2 | 3 | 0 | | 3 | : | 2 | 1 | 1 | | 1 | : | 2 | 0 | 1 | => Z$_2$ = 1101011 ###### B) *Gegeben:* 5816$_{10}$ *Gesucht:* Z$_2$ => b = 2 | Zahl | Rechenzeichen | Basis | Ergebnis | Rest | | ---- | :-----------: | ----- | -------- | ---- | | 5816 | : | 2 | 2908 | 0 | | 2908 | : | 2 | 1454 | 0 | | 1454 | : | 2 | 727 | 0 | | 727 | : | 2 | 363 | 1 | | 363 | : | 2 | 181 | 1 | | 181 | : | 2 | 90 | 1 | | 90 | : | 2 | 45 | 0 | | 45 | : | 2 | 22 | 1 | | 22 | : | 2 | 11 | 0 | | 11 | : | 2 | 5 | 1 | | 5 | : | 2 | 2 | 1 | | 2 | : | 2 | 1 | 0 | | 1 | : | 2 | 0 | 1 | => Z$_2$ = 1011010111000 ## Restwertverfahren für Zahlen zwischen 0 und 1 Um ein Restverfahren für eine zahl zwischen 0 und 1(für eine 0, irgendwas Zahl), ,muss man ein anderes Verfahren anwenden als für eine Normale Dezimahlzahl. Um dieses Verfahren anzuwenden benötigt man die Zielbasis $b$ und die Zahl. > [!abstract] Anwendunge des Verfahrens > Um dieses Verfahren anzuwenden nimmt man die Kommazahl immer mal die basis. Wenn **vor dem Komma** keine Null steht, ist diese Zahl auf Null zu setzen und ist ein Teil der Zielzahl. Das Ziel ist erreicht wenn die Nachkommastellen alle Null sind. ![[Pasted image 20241003180644.png]] Ein Beispiel: Die Zahl 0,640625 soll in eine Binärzahl (base 2) gerechnet werden: | Zahl | Operand | Basis | Ergebnis | | -------- | ------- | ----- | -------- | | 0,640625 | * | 2 | 1,281250 | | 0,281250 | * | 2 | 0,5625 | | 0,125 | * | 2 | 1,125 | | 0,25 | * | 2 | 0,5 | | 0,5 | * | 2 | 1,0 | | 0 | * | 2 | => Ende | => Die Zahl ist das Ergebnis: $x_2 = 0,101001$ > [!NOTE] Kommazahlpräzision in anderen Systemen > Bei bestimmten Zahlen ist es **nicht möglich** sie in einem anderen System als dem Dezimahlen **präzise genug** darzustellen. Um damit zu helfen werden manchmal kommazahlen in kritischen Systemen als stellen räpresentierung abgespeichert. Dies ist aber **sehr** Speicher intensiv. ### Klärung der Stellenwerte der binären Nachkommastellen Die Werte für die Binären Nachkommastellen sind: | $2^0$ | $2^{-1}$ | $2^{-2}$ | $2^{-3}$ | $2^{-4}$ | $2^{-5}$ | $2^{-6}$ | $2^{-7}$ | | ----- | --------------- | --------------- | --------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- | ----------------- | | 1 | ${\frac{1}{2}}$ | ${\frac{1}{4}}$ | ${\frac{1}{8}}$ | ${\frac{1}{16}}$ | ${\frac{1}{32}}$ | ${\frac{1}{64}}$ | ${\frac{1}{128}}$ | | | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 | 0,03125 | etc | | So kann man dann auch wieder zurückrechnen ins Dezimahlsystem: ![[Pasted image 20241003181554.png]] ## Ausrechnen einer Zahl mit stellen vor und nach dem Komma: > [!NOTE] Merke > Um eine Dezimahlzahl mit Vor- und Nachkommastellen in eine Dualzahl umzuwandeln, müssen die Schritte "Vorkommastelle" und "Nachkommastelle" **getrennt** ausgeführt werden. Beispiel: ![[Pasted image 20241003181811.png]] ## Hexadezimalzahlen #Todo ## Umwandlung von Dual- in Hexadezimalzahlen (und zurück) > [!NOTE] Note > Beginnend mit der Kommastelle werden Dualzahlen in beide Richtungeni n Viererblöcke unterteilt. Bleiben Ziffern übrig, so wird jeweils mit Nullen zu einem vollen Viererblock aufgefüllt. ### Beispiel Dualzahl: 1 0001 1100 1011 0010,1101 1001 1 | | 0001 | 0001 | 1100 | 1011 | 0010 | , | 1101 | 1001 | 1000 | | ---------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | --- | ---- | ---- | ---- | | Block wert | 1 | 1 | C | B | 2 | , | D | 9 | 8 | Da, 0 = 0 1 = 1 ... 9 = 9 A = 10 B = 11 ... F = 15 > [!abstract] Wichtig > Dieser Ansatz funktioniert auch vom Hexadezimalsystem in das Dualsystem